1. 概述
由于光通信系統(tǒng)向集成化方向發(fā)展，因此高折射率對(duì)比度以及亞波長尺寸波導(dǎo)的建模變得越來越重要。這些屬性需要一個(gè)模態(tài)求解器，既能夠真實(shí)地進(jìn)行幾何近似，也可以進(jìn)行電場的近似。波導(dǎo)尺寸與感興趣的電磁場區(qū)域可能有幾個(gè)數(shù)量級(jí)的差別，如長距離等離子體激元。
1. 應(yīng)用
硅光子學(xué)
波導(dǎo)設(shè)計(jì)
空心光纖
亞波長光學(xué)
彎曲波導(dǎo)
長距離等離子體激元
高折射率對(duì)比光纖
2. 優(yōu)勢
矢量有限元法速度非�？�，而且精度高
全矢量公式化各向異性模式求解器
能夠使用5階插值混合向量/節(jié)點(diǎn)量，以去掉偽解并極大的增加精度
可利用布局的對(duì)稱性降低仿真域尺寸
單軸完全匹配層(UPML)可以用來找到遺漏的模式
三角網(wǎng)格大小可調(diào)整以精確近似電磁場和波導(dǎo)的幾何結(jié)構(gòu)
模態(tài)指數(shù)評(píng)估可提高速度，還可以用來搜索特定的光學(xué)模式
采用變換光學(xué)精確地計(jì)算彎曲波導(dǎo)的模式，,即使是一個(gè)很小的曲率半徑
3. 仿真描述
在矢量有限元法與其他模式求解器進(jìn)行對(duì)比之前，應(yīng)對(duì)不同的階數(shù)的基礎(chǔ)函數(shù)的準(zhǔn)確性進(jìn)行了測試。最簡單的波導(dǎo)是一個(gè)均勻介質(zhì)微波波導(dǎo)。纖芯是一個(gè)簡單電介質(zhì)，包層被視為一個(gè)完美的電導(dǎo)體，以描述一個(gè)矩形金屬墻。
下面的圖標(biāo)中顯示了VFEM結(jié)果和解析結(jié)果間的相對(duì)百分比誤差。誤差根據(jù)有限元網(wǎng)格中自由度結(jié)果的方程進(jìn)行繪制。
圖1.VFEM計(jì)算的平均誤差
前5個(gè)模式誤差的平均值如圖1中所繪制。其清晰表明，對(duì)于一個(gè)傳播常數(shù)，增加基礎(chǔ)方程的階次可以獲得更高精度的結(jié)果。在x=400時(shí)，增加基礎(chǔ)方程的級(jí)次，等于近乎提高數(shù)量級(jí)高度的精度。此處應(yīng)該指出的是，最大平均誤差僅為0.3%。
對(duì)一個(gè)纖芯折射率1.5和包層折射率為1.0的高對(duì)比光纖，對(duì)比使用不同方法的模態(tài)求解器。盡管在SOI波導(dǎo)中可能不算是高對(duì)比度，但對(duì)于我們來說對(duì)比度已足夠大了。波導(dǎo)的橫截面顯示在反面。
表1：利用多種模態(tài)求解器計(jì)算的模折射率。包含了模折射率的平均誤差。
上面的表格顯示了對(duì)于前六光纖矢量模式計(jì)算的模折射率。將一個(gè)光纖矢量求解器作為基準(zhǔn)，并標(biāo)簽為“Exact”。此外，ADI、FD和FEM求解也都用于計(jì)算光纖模態(tài)。其中FEM分為兩組：第一組使用1階量，第二組使用3階量。但在表格中沒有給出各求解器所花費(fèi)時(shí)間。其中，F(xiàn)EM計(jì)算時(shí)間與FD的計(jì)算時(shí)間大概一致，(FD耗時(shí)~109秒，F(xiàn)EM耗時(shí)~65秒)。
表格充分說明了FEM模態(tài)求解器的優(yōu)勢和ADI的不足。ADI方法計(jì)算速度快，但是尋找較高精度高階模態(tài)比較困難，而且其精度隨波導(dǎo)對(duì)比度提高而降低。FD法優(yōu)于ADI，但精度最好的是FEM法。這并不僅對(duì)于光纖模態(tài)，對(duì)于矩形和任意形狀波導(dǎo)也同樣適用。
有限元求解器如此精確的主要原因之一是其近似幾何體的方式。ADI和FD采用小矩形進(jìn)行折射率采樣，這導(dǎo)致了對(duì)角線或曲線的階梯式近似。理論上，矩形晶元可以縮小至階梯式以進(jìn)行一個(gè)很好的近似，但在實(shí)踐中它仍然會(huì)導(dǎo)致相當(dāng)大的誤差。有限元求解器使用三角形網(wǎng)格可以近似對(duì)角線到一個(gè)高精度水平，并可以提供足夠少的三角來近似曲線。
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