文章來源：Bäuerle A, Bruneton A, Wester R, et al. Algorithm for irradiance tailoring using multiple freeform optical surfaces[J]. Optics express, 2012, 20(13): 14477-14485.
主要內(nèi)容：本文基于最優(yōu)化質(zhì)量傳遞（optimal mass transport）多自由曲面光學(xué)的設(shè)計(jì)算法，結(jié)合照明設(shè)計(jì)軟件FRED模擬了洗墻燈實(shí)例。使用該算法，可直接調(diào)整多面光學(xué)系統(tǒng)（在本文中，我們用了雙邊自由曲面）獲得了近似于預(yù)先確定照度分布，而同時(shí)可捕獲從光源發(fā)出的大部分光線。增加多曲面自由度可用來減小菲涅爾損失，包含加工上的約束以及減小零件尺寸。
Axel Bauerle, 1, 2 Adrien Bruneton, 1∗ Rolf Wester, 2
Jochen Stollenwerk, 1, 2 and Peter Loosen1, 2
1Chair for the Technology of Optical Systems, RWTH Aachen University, 52056 Aachen,
Germany
2Fraunhofer Institute for Laser Technology ILT, Steinbachstr. 15, 52074 Aachen, Germany
摘要
自由曲面透鏡和反射鏡的設(shè)計(jì)能夠獲得非徑向?qū)ΨQ的照度分布，且同時(shí)保持光學(xué)系統(tǒng)的緊湊性。對(duì)于點(diǎn)狀光源來說，比如LED，為了增加發(fā)光效率往往需要捕獲一個(gè)寬角度的光源。這樣往往導(dǎo)致的結(jié)果是產(chǎn)生強(qiáng)彎曲光學(xué)元件，需要兩個(gè)透鏡面作用于總的光的折射，從而最小化菲涅爾損失。在本篇文章中，我們報(bào)道了一個(gè)基于最優(yōu)化質(zhì)量傳遞（optimal mass transport）多自由曲面光學(xué)的設(shè)計(jì)算法，并結(jié)合光學(xué)工程仿真軟件FRED對(duì)一般照明問題給出了應(yīng)用實(shí)例。
1.前言
在照明應(yīng)用中，透鏡和反射鏡可以以一種預(yù)先確定的方式上分配光線，市場(chǎng)上對(duì)這種透鏡及反射鏡的需求越來越多。為了獲得常用的光分布，光學(xué)設(shè)計(jì)中自由度數(shù)量必須高于傳統(tǒng)的光學(xué)元件，這就引入了自由曲面光學(xué)的概念，對(duì)此有眾多設(shè)計(jì)算法提出[1-5]。折射式光學(xué)元件(透鏡)在材料-空氣界面會(huì)遇到菲涅爾反射，控制其精準(zhǔn)的路徑來避免損失難度較大。因?yàn)殡S著光線角度傾斜菲涅爾反射在增加，因此理想情況是使用幾個(gè)自由曲面來增加系統(tǒng)的光學(xué)效率，在這種情況下，一個(gè)單透鏡面足以調(diào)整照度分布。
到目前為止文獻(xiàn)中發(fā)布的設(shè)計(jì)算法，只有Minano、Benıtez[5]提出的SMS3D方法可以直接裁剪多平滑表面，且同時(shí)獲得預(yù)定的照度分布，甚至在一定程度上可把擴(kuò)展光源考慮進(jìn)去。然而，據(jù)作者所知，SMS3D算法只是在他們團(tuán)隊(duì)內(nèi)部使用。對(duì)于點(diǎn)光源的情況，Ries 和Muschaweck[2]得出了一組偏微分方程來描述單個(gè)光學(xué)面，但一般對(duì)于多光學(xué)表面目前還沒有報(bào)道。
在本文中，基于傳輸理論的公式[6]，對(duì)兩個(gè)自由曲面和一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)射器的照度調(diào)整問題，我們提出了靈活的近似解算法。此外，我們利用FRED軟件演示了對(duì)于一般照明設(shè)計(jì)任務(wù)的可行性。
2.光線映射：有關(guān)光學(xué)設(shè)計(jì)的傳輸理論
在一般的公式中，質(zhì)量傳輸理論講述了最優(yōu)路徑的計(jì)算，此計(jì)算允許從初始質(zhì)量分布到目標(biāo)質(zhì)量分布的連續(xù)傳遞。就光學(xué)而言，光通量扮演了重要的角色，投射光源描述為在2維空間 上光通量密度 (圖1)。類似的，目標(biāo)空間 上的光通量密度為 。為了清楚起見，在3維空間中，假定 平行于2維平面，光通量密度 和 在各自的局部笛卡爾坐標(biāo)（x,y）下被參數(shù)化（圖1）。
圖1.映射計(jì)算圖，點(diǎn)光源投射到平面  及目標(biāo)照度投射到  ，自由曲面位置在 和 之間。
光學(xué)系統(tǒng)（自由曲面）的設(shè)計(jì)任務(wù)相當(dāng)于發(fā)現(xiàn)一個(gè)微分同胚映射（光線映射），以便于照度分布轉(zhuǎn)換匹配目標(biāo)分布：
 （1）
(tx,ty)代表了光源光線透過 上的（x,y）在 上的目標(biāo)點(diǎn)。因?yàn)檠刂鵁o窮小燈管從光源到探測(cè)目標(biāo)上光通量守恒，照度轉(zhuǎn)換公式可以寫為：
 （2）
Du是u的雅克比行列式，表示沿著路徑燈管橫截面的壓縮或放大， 是常用的算子符號(hào)。在整個(gè)平面 上積分此公式得到了總的能量守恒關(guān)系  。
因?yàn)橛成鋟并不是獨(dú)一無二的[7]，在光學(xué)設(shè)計(jì)任務(wù)中主要的限制是發(fā)現(xiàn)可引導(dǎo)光學(xué)表面連續(xù)可微的映射。這也就是所謂的表面法向矢量N可積條件[8]
N*curl(N)=0 (3)
計(jì)算強(qiáng)制滿足方程(3)的光線映射并不是簡(jiǎn)單的事情，因?yàn)橛裳趴吮扰袥Q式(Monge-Ampere-type 方程)可知方程(2)一般等效于非線性二階偏微分方程。處理兩個(gè)光學(xué)表面而不是一個(gè)光學(xué)表面使這個(gè)問題更具挑戰(zhàn)性。
3.近似最優(yōu)化光線映射
表面法線矢量場(chǎng)直接關(guān)系到映射信息（通過斯涅耳折射定律）。因此，即使現(xiàn)在還沒有被證實(shí)，看起來似乎是可信的：如果光線映射的旋度自身減小，表面法線矢量場(chǎng)的旋度可大幅度減小。
使用最新的質(zhì)量傳遞理論有助于實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。在處理預(yù)定的目標(biāo)函數(shù)這方面大部分的工作集中在尋找最佳映射。每個(gè)元件的位移、質(zhì)量權(quán)重是具有代表性的二次函數(shù)。幾種不同的解決問題的方法已經(jīng)被提出[9]。本文中，我們關(guān)注于在圖像變換的背景下由Haker提出的一階、無參數(shù)方案[7]。
點(diǎn)光源的光通量分布投射到方形的2維空間 ，因此獲得了平坦的光通量密度μ。一個(gè)改進(jìn)的立體投影通常用于獲得這個(gè)通量密度，與此同時(shí)控制可捕獲光錐角度。同樣的目標(biāo)上的光通量分布投射到一個(gè)平行的方形區(qū)域 。如圖1所示。
Haker的步驟[7]是首先找到μ0和μ1初始映射關(guān)系（通常是在笛卡爾坐標(biāo)軸上兩個(gè)連續(xù)1維數(shù)值積分），初始映射結(jié)果用  表示。
Haker演示了μ0和μ1所有映射可用連續(xù)變量t表示，同樣的，u可以看作t的函數(shù)，  。通量符合如下演化方程：
 （4）
Du表示映射的雅克比行列式，  代表在二維空間旋轉(zhuǎn)90度，  是f的解，表示為泊松公式  。
這個(gè)方程的穩(wěn)態(tài)解（當(dāng)t--->∞ ）已經(jīng)被Haker證明了是二次型性能指標(biāo)最優(yōu)化映射。本文中，此方程的解使用Hakert數(shù)值技術(shù)，使用 作為初始點(diǎn)。注意演化方程本身不使用μ1作為相關(guān)信息，因?yàn)樗呀?jīng)包含在初始映射 里面了。
用這種方法減小映射的旋度會(huì)得到一個(gè)好的積分近似條件，如下面第五部分所示。
4.由光線映射構(gòu)建光學(xué)表面
使用映射信息，光學(xué)表面的計(jì)算可促使光源光線偏轉(zhuǎn)到想要的目標(biāo)位置�？偟墓獾钠D(zhuǎn)分成幾個(gè)部分（在如下的例子中描述了兩種），對(duì)于一個(gè)給定的光學(xué)面，每個(gè)都可實(shí)現(xiàn)。在本文中，構(gòu)建方法是使用標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘優(yōu)化法。表面使用三角形網(wǎng)格畫法頂點(diǎn)為i=1,……N，他們的位置為由下列式子給出：
 （5）
r0(i)是光線i的起點(diǎn)，可以是點(diǎn)光源的位置或光線通過另一個(gè)光學(xué)面的位置。S(i)是光線的方向矢量，λ(i)是標(biāo)量參數(shù)定義表面點(diǎn)i。
S(i)和N(i)給出了光線折射或反射后方向矢量S0(i)。法向矢量N(i)在三角形面頂點(diǎn)位置由頂點(diǎn)相鄰面法向平均加權(quán)計(jì)算得到。
鑒于S0(i)、光線在光學(xué)面上的位置r(i)、光線交于目標(biāo)面的點(diǎn)T(i)都可以計(jì)算。由下式(6)最小化作為目標(biāo)函數(shù)
 （6）
Tx(i)和Ty(i)是給定的參數(shù)矢量 的光線局部目標(biāo)面的坐標(biāo)，tx(i)和ty(i)分別是映射算法中想得到的局部目標(biāo)坐標(biāo)。
表面構(gòu)建是基于目標(biāo)面上的光線坐標(biāo)符合積分條件。算法與在目標(biāo)面上的光線位置協(xié)調(diào)進(jìn)行，因此可在多個(gè)光學(xué)表面偏轉(zhuǎn)光線，引入額外的自由度到設(shè)計(jì)上而并非算法上，因?yàn)樗惴ㄖ豢紤]單個(gè)面。
使用三角網(wǎng)格算法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在可非常靈活的進(jìn)一步處理結(jié)果表面。例如他們可以細(xì)化處理或快速切割，因此，引入了出色的透鏡邊界控制條件。結(jié)合多面設(shè)計(jì)允許包含加工限制條件（如注塑成型可避免凹陷）。
5.建筑照明：洗墻燈實(shí)例應(yīng)用
圖2給出了標(biāo)準(zhǔn)的、高光學(xué)效率，建筑照明上具有挑戰(zhàn)性幾何結(jié)構(gòu)，吸頂燈距離均勻照度接受面80cm。第一步，建立一個(gè)簡(jiǎn)單的軸上演示設(shè)計(jì)，并對(duì)比了傳統(tǒng)的非-優(yōu)化的映射(1維逐次積分)設(shè)計(jì)�；诖�，建立了更具有挑戰(zhàn)性的傾斜設(shè)計(jì)。
圖2.（a）自定義坐標(biāo)軸的洗墻燈應(yīng)用 (b)簡(jiǎn)單的軸上方案
5.1 軸上實(shí)例
依據(jù)上面列出的算法，一個(gè)初始的光線映射計(jì)算出來，并構(gòu)建了相應(yīng)的光學(xué)表面結(jié)構(gòu)（假設(shè)材料是PMMA，n=1.49），最小化目標(biāo)函數(shù)(公式6)。為完善設(shè)計(jì)，對(duì)如上的初始映射進(jìn)行了優(yōu)化，第二組表面隨后被構(gòu)建。圖3給出了相應(yīng)的映射，分別表示為規(guī)則網(wǎng)格的變形及z分量的旋度。當(dāng)系數(shù)為200時(shí)總的旋度量急劇減小。
圖3. 光線映射（表示為規(guī)則網(wǎng)格的變形）及相應(yīng)的Z分量旋度映射，(a) 優(yōu)化前 (b) 優(yōu)化后
在兩種表面處執(zhí)行了蒙特卡洛光線追跡，圖4給出了每種情況的最終照度分布。500萬條光線、目標(biāo)面上探測(cè)器分辨率點(diǎn)為71*71，所有的這些均由FRED[10]光學(xué)工程仿真軟件來完成。光源是標(biāo)準(zhǔn)的朗伯體點(diǎn)發(fā)射器，半角分布為70度圓錐角，方向沿著z軸。
盡管透鏡的形狀極其相似，圖4（d）中的光分布顯示了與均勻照度分布相比顯示了極小的變形。證實(shí)了旋度減少得到了令人滿意的光線映射，例如與初始映射相比更好的與積分條件（公式3）的匹配，同時(shí)更接近想要的光通量變化。
圖.4 FRED軟件線框圖示及用蒙特卡羅光線追跡后輻照度分布（任意單位）。(a)和(c)沒有映射優(yōu)化;(b)和(d)映射優(yōu)化后 |
