文章來源：Bäuerle A, Bruneton A, Wester R, et al. Algorithm for irradiance tailoring using multiple freeform optical surfaces[J]. Optics express, 2012, 20(13): 14477-14485.
主要內容：本文基于最優化質量傳遞（optimal mass transport）多自由曲面光學的設計算法，結合照明設計軟件FRED模擬了洗墻燈實例。使用該算法，可直接調整多面光學系統（在本文中，我們用了雙邊自由曲面）獲得了近似于預先確定照度分布，而同時可捕獲從光源發出的大部分光線。增加多曲面自由度可用來減小菲涅爾損失，包含加工上的約束以及減小零件尺寸。
Axel Bauerle, 1, 2 Adrien Bruneton, 1∗ Rolf Wester, 2
Jochen Stollenwerk, 1, 2 and Peter Loosen1, 2
1Chair for the Technology of Optical Systems, RWTH Aachen University, 52056 Aachen,
Germany
2Fraunhofer Institute for Laser Technology ILT, Steinbachstr. 15, 52074 Aachen, Germany
摘要
自由曲面透鏡和反射鏡的設計能夠獲得非徑向對稱的照度分布，且同時保持光學系統的緊湊性。對于點狀光源來說，比如LED，為了增加發光效率往往需要捕獲一個寬角度的光源。這樣往往導致的結果是產生強彎曲光學元件，需要兩個透鏡面作用于總的光的折射，從而最小化菲涅爾損失。在本篇文章中，我們報道了一個基于最優化質量傳遞（optimal mass transport）多自由曲面光學的設計算法，并結合光學工程仿真軟件FRED對一般照明問題給出了應用實例。
1.前言
在照明應用中，透鏡和反射鏡可以以一種預先確定的方式上分配光線，市場上對這種透鏡及反射鏡的需求越來越多。為了獲得常用的光分布，光學設計中自由度數量必須高于傳統的光學元件，這就引入了自由曲面光學的概念，對此有眾多設計算法提出[1-5]。折射式光學元件(透鏡)在材料-空氣界面會遇到菲涅爾反射，控制其精準的路徑來避免損失難度較大。因為隨著光線角度傾斜菲涅爾反射在增加，因此理想情況是使用幾個自由曲面來增加系統的光學效率，在這種情況下，一個單透鏡面足以調整照度分布。
到目前為止文獻中發布的設計算法，只有Minano、Benıtez[5]提出的SMS3D方法可以直接裁剪多平滑表面，且同時獲得預定的照度分布，甚至在一定程度上可把擴展光源考慮進去。然而，據作者所知，SMS3D算法只是在他們團隊內部使用。對于點光源的情況，Ries 和Muschaweck[2]得出了一組偏微分方程來描述單個光學面，但一般對于多光學表面目前還沒有報道。
在本文中，基于傳輸理論的公式[6]，對兩個自由曲面和一個點光源發射器的照度調整問題，我們提出了靈活的近似解算法。此外，我們利用FRED軟件演示了對于一般照明設計任務的可行性。
2.光線映射：有關光學設計的傳輸理論
在一般的公式中，質量傳輸理論講述了最優路徑的計算，此計算允許從初始質量分布到目標質量分布的連續傳遞。就光學而言，光通量扮演了重要的角色，投射光源描述為在2維空間 上光通量密度 (圖1)。類似的，目標空間 上的光通量密度為 。為了清楚起見，在3維空間中，假定 平行于2維平面，光通量密度 和 在各自的局部笛卡爾坐標（x,y）下被參數化（圖1）。
圖1.映射計算圖，點光源投射到平面  及目標照度投射到  ，自由曲面位置在 和 之間。
光學系統（自由曲面）的設計任務相當于發現一個微分同胚映射（光線映射），以便于照度分布轉換匹配目標分布：
 （1）
(tx,ty)代表了光源光線透過 上的（x,y）在 上的目標點。因為沿著無窮小燈管從光源到探測目標上光通量守恒，照度轉換公式可以寫為：
 （2）
Du是u的雅克比行列式，表示沿著路徑燈管橫截面的壓縮或放大， 是常用的算子符號。在整個平面 上積分此公式得到了總的能量守恒關系  。
因為映射u并不是獨一無二的[7]，在光學設計任務中主要的限制是發現可引導光學表面連續可微的映射。這也就是所謂的表面法向矢量N可積條件[8]
N*curl(N)=0 (3)
計算強制滿足方程(3)的光線映射并不是簡單的事情，因為由雅克比判決式(Monge-Ampere-type 方程)可知方程(2)一般等效于非線性二階偏微分方程。處理兩個光學表面而不是一個光學表面使這個問題更具挑戰性。
3.近似最優化光線映射
表面法線矢量場直接關系到映射信息（通過斯涅耳折射定律）。因此，即使現在還沒有被證實，看起來似乎是可信的：如果光線映射的旋度自身減小，表面法線矢量場的旋度可大幅度減小。
使用最新的質量傳遞理論有助于實現這一目標。在處理預定的目標函數這方面大部分的工作集中在尋找最佳映射。每個元件的位移、質量權重是具有代表性的二次函數。幾種不同的解決問題的方法已經被提出[9]。本文中，我們關注于在圖像變換的背景下由Haker提出的一階、無參數方案[7]。
點光源的光通量分布投射到方形的2維空間 ，因此獲得了平坦的光通量密度μ。一個改進的立體投影通常用于獲得這個通量密度，與此同時控制可捕獲光錐角度。同樣的目標上的光通量分布投射到一個平行的方形區域 。如圖1所示。
Haker的步驟[7]是首先找到μ0和μ1初始映射關系（通常是在笛卡爾坐標軸上兩個連續1維數值積分），初始映射結果用  表示。
Haker演示了μ0和μ1所有映射可用連續變量t表示，同樣的，u可以看作t的函數，  。通量符合如下演化方程：
 （4）
Du表示映射的雅克比行列式，  代表在二維空間旋轉90度，  是f的解，表示為泊松公式  。
這個方程的穩態解（當t--->∞ ）已經被Haker證明了是二次型性能指標最優化映射。本文中，此方程的解使用Hakert數值技術，使用 作為初始點。注意演化方程本身不使用μ1作為相關信息，因為它已經包含在初始映射 里面了。
用這種方法減小映射的旋度會得到一個好的積分近似條件，如下面第五部分所示。
4.由光線映射構建光學表面
使用映射信息，光學表面的計算可促使光源光線偏轉到想要的目標位置�？偟墓獾钠D分成幾個部分（在如下的例子中描述了兩種），對于一個給定的光學面，每個都可實現。在本文中，構建方法是使用標準的最小二乘優化法。表面使用三角形網格畫法頂點為i=1,……N，他們的位置為由下列式子給出：
 （5）
r0(i)是光線i的起點，可以是點光源的位置或光線通過另一個光學面的位置。S(i)是光線的方向矢量，λ(i)是標量參數定義表面點i。
S(i)和N(i)給出了光線折射或反射后方向矢量S0(i)。法向矢量N(i)在三角形面頂點位置由頂點相鄰面法向平均加權計算得到。
鑒于S0(i)、光線在光學面上的位置r(i)、光線交于目標面的點T(i)都可以計算。由下式(6)最小化作為目標函數
 （6）
Tx(i)和Ty(i)是給定的參數矢量 的光線局部目標面的坐標，tx(i)和ty(i)分別是映射算法中想得到的局部目標坐標。
表面構建是基于目標面上的光線坐標符合積分條件。算法與在目標面上的光線位置協調進行，因此可在多個光學表面偏轉光線，引入額外的自由度到設計上而并非算法上，因為算法只考慮單個面。
使用三角網格算法的優勢體現在可非常靈活的進一步處理結果表面。例如他們可以細化處理或快速切割，因此，引入了出色的透鏡邊界控制條件。結合多面設計允許包含加工限制條件（如注塑成型可避免凹陷）。
5.建筑照明：洗墻燈實例應用
圖2給出了標準的、高光學效率，建筑照明上具有挑戰性幾何結構，吸頂燈距離均勻照度接受面80cm。第一步，建立一個簡單的軸上演示設計，并對比了傳統的非-優化的映射(1維逐次積分)設計�；诖�，建立了更具有挑戰性的傾斜設計。
圖2.（a）自定義坐標軸的洗墻燈應用 (b)簡單的軸上方案
5.1 軸上實例
依據上面列出的算法，一個初始的光線映射計算出來，并構建了相應的光學表面結構（假設材料是PMMA，n=1.49），最小化目標函數(公式6)。為完善設計，對如上的初始映射進行了優化，第二組表面隨后被構建。圖3給出了相應的映射，分別表示為規則網格的變形及z分量的旋度。當系數為200時總的旋度量急劇減小。
圖3. 光線映射（表示為規則網格的變形）及相應的Z分量旋度映射，(a) 優化前 (b) 優化后
在兩種表面處執行了蒙特卡洛光線追跡，圖4給出了每種情況的最終照度分布。500萬條光線、目標面上探測器分辨率點為71*71，所有的這些均由FRED[10]光學工程仿真軟件來完成。光源是標準的朗伯體點發射器，半角分布為70度圓錐角，方向沿著z軸。
盡管透鏡的形狀極其相似，圖4（d）中的光分布顯示了與均勻照度分布相比顯示了極小的變形。證實了旋度減少得到了令人滿意的光線映射，例如與初始映射相比更好的與積分條件（公式3）的匹配，同時更接近想要的光通量變化。
圖.4 FRED軟件線框圖示及用蒙特卡羅光線追跡后輻照度分布（任意單位）。(a)和(c)沒有映射優化;(b)和(d)映射優化后 |
