| 在數(shù)字上更方便。代替了方程（2）和（4）中的兩個FFT, 這兩個FFT被用于處理標準SPW算子中數(shù)值工作量的巨大光場，修改后的算子執(zhí)行三個簡單的FFT。盡管如此，一個額外的FFT步驟是必要的：二次相位項的解析處理。式（15）導(dǎo)致新算符的數(shù)值性能提升。與SPW傳播算子相反，增大的傳播距離主要是給半解析SPW算子引入一個慢振蕩相位項。這種較慢的相位振蕩可以減少采樣工作。
然而，在等式（8）中由高階相位函數(shù)  引起的相位振蕩仍會隨著距離的增加能變大。Mansuripur[6]在其工作中已經(jīng)提到，通過對kz使用更方便的拋物線擬合方法，而不是如等式（6）中的泰勒展開，可以顯著減少高階的影響。根據(jù)抽樣原理[15]，我們不應(yīng)關(guān)注不是高階函數(shù)本身而是其梯度  的最大絕對值。通過最小化其梯度  最大值以達到最佳的數(shù)值效果。
基于這一思想，Mansuripur在其出版物[6]的附錄A中提出了一種先進的擬合方法。然而，它只是優(yōu)化拋物線的斜率，而不是頂點偏移。此外，這項技術(shù)還需要解一個方程，包括不同指數(shù)的冪函數(shù)，這只能用數(shù)值方法來實現(xiàn)。
一種拋物線擬合方法可以得到更強大的分析方法，van der Avoort等人使用了這種方法[7]在完全不同的背景下。據(jù)此，球相函數(shù)可以寫成
相對于最大空間頻率Kmax的絕對值進行歸一化。式（17）的兩個擬合參數(shù)由[7]得到
圖3(a)說明了用泰勒展開式的前兩個項（式（6）、式（17）的Avoort擬合和Mansuripur的擬合技術(shù)對kmax的一維例子的球面相位函數(shù)的擬合。相應(yīng)的高階相位函數(shù)；如圖3（b）所示。在這里，Avoort擬合的特征是最小化梯度的曲線，這使得所有高階相位函數(shù)的影響最小。因此，Avoort擬合能做到在公式（8）中僅需求對修改后的角譜進行最小努力的采樣。請注意，在低空間頻率情況下的不完全Avoort擬合與采樣無關(guān)，因為它的梯度很小。與Mansuripur擬合相比，本文給出了Avoort擬合的解析表達式。
到目前為止，由式（3）的球形傳播核引起的球面相位項用式（21）進行了解析處理。通常情況下，對于直徑較小，因而發(fā)散較大的場，球面?zhèn)鞑ズ说牟蓸诱贾鲗?dǎo)地位。接下來，我們轉(zhuǎn)向光場，在傳播之前，光場已經(jīng)有了一個很強的球面相位。例如，這出現(xiàn)在透鏡系統(tǒng)的出射光瞳中。在這種情況下，初始諧波場包含一個強球形相位，并且可以有效地利用半解析SPW傳播算子對球相項的數(shù)值傳播進行反演。為此，公式（21）重新排列為
圖3 根據(jù)Taylor、Avoort和Mansuripur擬合球面相位函數(shù)kz。
（a）一維球函數(shù)及其相應(yīng)的拋物線擬合曲線。
（b）（b）高階相位函數(shù)，從球面函數(shù)中減去拋物線擬合函數(shù)。
A*B表示卷積積分
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