應(yīng)用
硅光子學(xué)
波導(dǎo)設(shè)計
長距離等離子體激元
空心光纖
亞波長光學(xué)
彎曲波導(dǎo)
綜述
由于光學(xué)系統(tǒng)向集成化方向發(fā)展，因此高折射率對比度以及亞波長尺寸波導(dǎo)的建模變得越來越重要。這些屬性需要一個模態(tài)求解器，既能夠真實地進行幾何近似，也可以進行電場的近似。波導(dǎo)尺寸與感興趣的電磁場區(qū)域可能有幾個數(shù)量級的差別，如長距離等離子體激元。
高對比折射率光纖
優(yōu)勢：
矢量有限元法速度非�？欤揖雀�。
全矢量公式化各向異性模式求解器。
能夠使用5階插值混合向量/節(jié)點元素，以去掉偽解并極大的增加精度。
可利用布局的對稱性降低仿真域尺寸。
單軸完全匹配層(UPML)可以用來找到遺漏的模式。
三角網(wǎng)格大小可調(diào)整以精確近似電磁場和波導(dǎo)的幾何結(jié)構(gòu)。
模態(tài)指數(shù)評估可提高速度，還可以用來搜索特定的光學(xué)模式。
采用變換光學(xué)精確地計算彎曲波導(dǎo)的模式，,即使是一個很小的曲率半徑。
仿真描述
在矢量有限元法與其他模式求解器進行對比之前，應(yīng)對不同的階基礎(chǔ)函數(shù)的準(zhǔn)確性進行了測試。最簡單的波導(dǎo)是均勻電介質(zhì)加載微波波導(dǎo)。纖芯是一個簡單電解質(zhì)，包層被視為一個完美的電導(dǎo)體，代表一個矩形金屬墻。
下面的圖標(biāo)中顯示了VFEM結(jié)果和解析結(jié)果間的相對百分比誤差。誤差根據(jù)有限元網(wǎng)格中自由度結(jié)果的方程進行繪制。
圖1：VFEM計算的平均誤差
前5個模式的誤差為平均值，如圖1中所繪制。其清晰表明，對于一個恒定的傳播，增加基礎(chǔ)方程的級次可以獲得更高精度的結(jié)果。在X=400時，增加基礎(chǔ)方程的級次，等于近乎提高數(shù)量級高度的精度。此處應(yīng)該指出的是，最大平均誤差僅為0.3%。
對一個纖芯折射率1.5和包層折射率為1.0的高對比光纖，對比使用不同方法的模態(tài)求解器。盡管在SOI波導(dǎo)中可能不算是高對比度，但對于我們來說對比度已足夠大了。波導(dǎo)的橫截面顯示在反面。
表1：利用多種模態(tài)求解器計算的模折射率。包含了模折射率的平均誤差
上面的表格顯示了對于前六光纖矢量模式計算的模折射率。將一個光纖矢量求解器作為基準(zhǔn)，并標(biāo)簽為“Exact”。此外，ADI、FD和FEM求解也都用于計算光纖模態(tài)。其中FEM分為兩組：第一組使用1階元素，第二組使用3階元素。但在表格中沒有給出各求解器所花費時間。其中，F(xiàn)EM計算時間與FD的計算時間大概一致，(FD耗時~109秒，F(xiàn)EM耗時~65秒)。
表格充分說明了FEM模態(tài)求解器的優(yōu)勢和ADI的不足。ADI方法計算速度快，但是尋找較高精度高階模態(tài)比較困難，而且其精度隨波導(dǎo)對比度提高而降低。FD法優(yōu)于ADI，但精度最好的是FEM法。這并不僅對于光纖模態(tài)，對于矩形和任意形狀波導(dǎo)也同樣適用。
有限元求解器如此精確的主要原因之一是其近似幾何體的方式。ADI和FD采用小矩形進行折射率采樣，這導(dǎo)致了對角線或曲線的階梯式近似。理論上，矩形晶元可以縮小至階梯式以進行一個很好的近似，但在實踐中它仍然會導(dǎo)致相當(dāng)大的誤差。有限元求解器使用三角形網(wǎng)格可以近似對角線到一個高精度水平，并可以提供足夠少的三角來近似曲線。
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