摘要：我們使用近似的物理光學模模擬了半徑的測量。使用簡單的幾何光線模型替換復雜的物理光學模型，可以確定在測量中的偏差。
1. 簡介
半徑干涉測量通常通過簡單的幾何模型來模擬，即，來自物鏡（或標準透鏡）的光線形成錐形并且聚焦到一點[1]。當測試光學器件變小和/或需要更高的精度時，這個簡單的幾何模型就會產生問題并得到錯誤的半徑測量值。需要完整的物理光學模型來捕獲系統的衍射效應和像差。
半徑干涉測量的原理圖如圖1所示。菲索或泰曼格林干涉儀都可用于半徑測量。在菲索干涉儀中，標準透鏡用作聚焦元件、分束和參考表面。在泰曼格林干涉儀中，使用分束器將光分成參考反射鏡和物鏡，它可以將光束聚焦到測試部件。
通過首先將部件放置在共焦位置，然后將部件移動到貓眼位置，并測量部件移動的距離，來測量測試部件的半徑，該距離就是測試部件的半徑。當澤尼克多項式[1]的離焦項為零時，共焦和貓眼位置重合。在視覺上，靶心環是空的。因為操作者不能將部件準確地放置在所需的位置，所以用于確定共焦和貓眼位置的最準確的方法是逐步通過這兩個位置。當操作者以小步幅移動部件通過共焦和貓眼時，我們記錄離焦和Z位置。然后，我們用一條線擬合離焦VS.Z位置。共焦和貓眼位置是Z位置軸上的截距。這種通過共焦和貓眼步進的方法可用于精確半徑測量[2]，我們在這里用于半徑測量的模擬。
圖1：半徑干涉測量幾何模型原理圖
在NIST的精密半徑干涉測量實驗顯示了標稱24.466mm半徑的Zerodur球的測量之間的差異。球體由坐標測量儀機械測量，同時在使用不同標準透鏡的干涉儀上光學測量[2]。即使考慮了測量中的所有已知偏差和不確定性，這種在75nm至400nm范圍內的差異仍然存在。對于這種差異的解釋可能是光被假定遵循幾何模型而不是更準確的物理光學模型，我們將在這里進行測試。
在光的幾何模型中，當透鏡的頂點與光的焦點（發生在距離聚焦元件一個焦距處）重合時，就會出現貓眼位置。然后，共焦位置距離貓眼位置一個半徑。在非像差幾何模型中，這發生在聚焦元件的波前的曲率等于測試部件的曲率時。
半徑測量的高斯模型表明了當使用幾何模型而不是更復雜的高斯模型時，半徑測量中存在誤差[3]。對于較小的半徑部分（<1mm），這個誤差是在105部件的量級，而對于較大的部件（25mm），有接近108部件的誤差。當考慮具有半徑像差的高斯模型時，NIST [2]的研究者發現了6nm的誤差（107部件）。這些像差是由標準透鏡和系統中的其他光學元件的缺陷引起的。
下一步是考慮物理光學模型。當然，焦點區域的分析計算是不可行的，因此需要近似。對于這種物理光學模型，我們使用來自Photon Engineering的軟件包FRED [4]。
2. FRED模型
FRED通過將光源光束近似為點網格來近似物理光學模型，其中每個點發出高斯分布“子束”。 每個高斯子束以ABCD矩陣方法[5]傳輸通過光學系統。在每個子束通過系統之后，疊加“探測器”上子束的波前，以近似物理光學模型。FRED是一個可視化軟件包，其中透鏡、反射鏡和光源都顯示在它們的相對位置。FRED不執行幾何分析。
為了模擬半徑測量，我們首先插入每個元件（光源、聚焦透鏡、測試部件和探測器）到FRED文件中。然后追跡來自光源的光線。光線由聚焦元件聚焦，從測試部分反射，再由聚焦元件準直，然后在探測器處讀取。在探測器處的期望輸出是波前的相位。我們按照所述步驟通過共焦和貓眼位置，并獲得每個點的相位圖。然后我們使用Matlab讀取相位數據和Z位置，以確定共焦和貓眼的位置。半徑是兩個位置之間的差，半徑誤差是測試部件的輸入半徑和輸出半徑之間的差。
我們在模擬半徑測量中使用了兩個不同的光源。我們測試了在整個圓形孔徑上具有恒定強度和相位的圓形孔徑光束，這模擬了最佳實驗裝置。第二個光源是高斯強度光束，通過改變子束的強度，使得強度的疊加是高斯分布，來形成該高斯光束。光源波長為632.8nm（氦-氖），并設置為相干。子束的數量可以改變，并且影響測量的時間和輸出相位。我們測試了不同孔徑尺寸的光源，從直徑為4mm的微干涉儀到直徑為150mm的大尺度干涉儀。
我們測試了兩種類型的聚焦元件。因為FRED使用實際光學器件而不是近軸近似，所以典型的透鏡具有太多的附加的球差。因此，我們首先使用拋物面作為聚焦元件，接下來使用具有圓錐表面（以減少像差）的透鏡作為聚焦元件。我們通過改變焦距來測試不同的數值孔徑。
我們測試了一系列測試部件，半徑從0.25mm到1mm，用于微干涉儀裝置，半徑25mm附近，用于宏觀干涉儀。模擬探測器以像素劃分，且可以改變。使用的像素越多，測量速度就越慢，并會影響相位輸出。圖4（a）示出了使用拋物面聚焦元件的示例測量。圖4（b）是當部件位于貓眼附近時的波前相位圖的圖片。主要的誤差是離焦，這表明部件并不完全在貓眼處。
圖4.（a）FRED中半徑測量示意圖（b）來自FRED波前相位示例
3. 結果
由于篇幅限制，此處僅顯示了幾個結果。該模型顯示了半徑、貓眼位置和共焦位置處的誤差。也就是說，輸出半徑不等于輸入半徑，并且貓眼和共焦位置會有偏移。圖5顯示出對于改變NA和部件尺寸而沒有附加的像差的微干涉儀的模型的結果。如圖5（a）所示，誤差隨著的NA目標變小而增加，如預期的那樣，因為焦點較大。此外，對于較大的部件，誤差較小，如圖5（b）所示。對于在f/3.2和25mm半徑輸入部件的宏觀尺度干涉儀，誤差為133nm，106中5個部件。這個誤差量可以開始解釋在NIST的實驗中所顯示的差異[2]。這些誤差不存在任何像差。如果將典型的像差量添加到模型中，則預期誤差將增加，這是我們的工作的下一環節。
圖5.使用幾何模型而不是更加復雜的FRED模型的誤差，數據來源于微干涉儀裝置。
4. 討論和總結
我們預測模型假設將會在焦點區域附近受到挑戰，有時稱為焦散。在焦散點附近，射線不垂直于波前，以及“相位偏移”[6]，即使對于無像差波前也是如此。因此，波場的分析具有誤差。最近的一篇出版物很好地總結了情況，“對在不同介質之間的彎曲界面處具有焦散的波場的分析仍然是一個重大挑戰...我們不知道任何現有的基于光線的模型可以分析這種情況”[7]。彎曲界面是半徑測量中的測試部件。為了解決這個問題，作者提出修改軟件中的高斯子束源來解決這個問題。這種用于光學建模的方法顯然不在本工作的范圍內，而是在此介紹FRED中的誤差并作為未來研究的方向。
我們進行了有限的不確定性分析。第一個不確定性是散焦對位置圖擬合的不確定性，其由模型故障、解包算法中的誤差、相機的像素特性和澤尼克擬合算法中的誤差引起。由擬合引起的半徑不確定性有波動，但對于大多數情況可以估計在±40nm。FRED模型中的另一個不確定性來源是選擇輸入光線子束的數量和相機中的像素數量。這些選擇導致輸出半徑中的±31nm（光源）和±64nm（探測器器）的不確定性。我們使用簡單的和的平方根法來組合這三個不確定性來源，以估計來自FRED模型的半徑的不確定性為±81nm。因為這種不確定性很大，FRED不太可能用于校正在幾何模型中沒有考慮的高精度的偏差，但是我們仍然可以使用FRED尋找趨勢。
我們指出，當使用簡單幾何模型而不是更復雜的物理光學模型時，在半徑干涉測量中存在誤差。該誤差隨著部件半徑的減小和物鏡NA的減小而增加。這個誤差可能有助于解釋一些實驗結果中發現的差異。但是，物理光學模型的近似不是完美的，也具有不確定性。這種不確定性使得軟件不可能用于校正測量中的偏差。該軟件可用于顯示由使用幾何模型而不是物理光學模型引起的不確定性的大小。
5. 參考文獻
[1] J. Breivenkamp and J.Bruning, “Phase Shifting Interferometry,” in Optical Shop Testing, D. Malacara, ed. (John Wiley and Sons, Inc., NY,1992), 501-598.
[2] T.L. Schmitz, A.D. Davies, and C.J. Evans, “Uncertainties in interferometric measurements of radius of curvature,” in Optical Manufacturing and Testing IV, H.P. Stahl, Ed., Vol. 4451 of Proceedings of SPIE (SPIE, Bellingham, WA, 2001), 432-447.
[3] K. M. Medicus, Improving Measurements Based on the Cat’s Eye Retro-Reflection, Diss., (UNC Charlotte, Charlotte, NC 2006).
[4] Photon Engineering, 440 South Williams Blvd., Suite # 106 Tucson, Arizona 85711, 520-733-9557.
[5] Jacques Arnaud, “Representation of Gaussian beams by complex rays,” Applied Optics, 24, 538-543, (1985).
[6] G.W. Forbes and M.A. Alonso, “Using rays better. I. Theory for smoothly varying media,” JOSA, 18, 1132-1145, (2001).
[7] G.W. Forbes and M.A. Alonso, “Using rays better. III. Theory for smoothly varying media,” JOSA, 18, 1357-1370, (2001).
文章來源：Medicus, Kate M., and A. Davies. "Physical Optics Modeling of the Interferometric Radius Measurement." Optical Fabrication and Testing2006
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