模擬光線的相干特性非常意義的。當(dāng)用FRED模擬相干系統(tǒng)時，用戶應(yīng)該對FRED進(jìn)行相干計(jì)算的方法有一個大致的了解，它是利用高斯光束分解（GBD）的一種一般形式。本應(yīng)用描述了一些在使用FRED時基本的相干建模方法和注意事項(xiàng)，以及一個應(yīng)用于ThorLabs擴(kuò)束器的相干場重新采樣特性的一個示例，最后，衍射儀用于演示一個部分相干性模型。
FRED基礎(chǔ)：相干性建模
FRED關(guān)于激光光束的追跡采用高斯光束分解技術(shù)（Gaussian beam decomposition，GBD）來傳輸相干場，最早由Arnaud 在1969年提出，是一組高斯光束子波(beamlet)可以合成任意的復(fù)數(shù)場。傳統(tǒng)的GBD方法局限在兩種極端情況下，一種是空間分解法，子波均勻分布在格子點(diǎn)上，另一種是傅里葉分解，根據(jù)空間頻率譜分解為在一個空間位置具有不同相位和方向的子光束。對此，Gabor對Arnaud的方法進(jìn)行了擴(kuò)展，并用在FRED中，允許這兩種方法結(jié)合起來以一種更加靈活的方式來拓寬使用條件。
在FRED中，由高斯子光束的疊加來描述光的的傳播。中心的“Base”光線代表著子光束的傳輸軌跡，額外的二級“束腰”和“發(fā)散”光線記錄子光束參數(shù)的變化。子光束和它對應(yīng)的光線的關(guān)系如下圖所示。當(dāng)子光束經(jīng)過折射、反射和衍射，這些光線完全描述了該子光束特性，因此這個過程被稱為“complex raytracing.”。在系統(tǒng)中的任何平面，通過確定在分析面上的每個位置處每個子光束的貢獻(xiàn)和對相位的比例來計(jì)算相干場。
因?yàn)樗鼈兪歉咚剐偷�，子光束服從與遠(yuǎn)場發(fā)散半角θ和最小束腰半徑ω0有關(guān)的方程（其中λ是波長，n是介質(zhì)的折射率）：
(1)
子光束的半徑
在傳播過程中變化，與束腰光線高度hw和發(fā)散光高度hd有關(guān)：
(2)
其中光線高度相對于Base ray。
為使模型變得精確，它們必須要保持高斯型并遵循近軸近似，這是相干光線追跡中最重要的考慮因素。嘗試在近軸限制之外操作高斯子光束傳播會使準(zhǔn)確性大打折扣。二級光線未能保持與它們的Base Rays好的相關(guān)性可能會導(dǎo)致相干光誤差和錯誤的輻照度計(jì)算。
雖然沒有精確的定義，近軸近似可以使用至少兩種形式描述：
。在這兩種情況中，對于 一個合適的選擇是0.1弧度，大約為6度。根據(jù)公式1，近軸近似最明顯的隱意是子光束的束腰半徑ω0必須大于等于3 。在實(shí)際使用中，用戶應(yīng)該考慮具有一定余量的操作，可能是5-10 。通過追跡二級光線并計(jì)算光學(xué)不變量H’nU - HnU’（其中H是光線高度，n是材料折射率，U是
），F(xiàn)RED記錄了子光束的相位。如果對于一個給定的相干光線不變量超出了 ，則用于計(jì)算的光線會被告知無效。不變量作為一個內(nèi)部尺度，告訴了子光束的好壞程度。
當(dāng)定義好一個相干光源，F(xiàn)RED設(shè)置了一個光線網(wǎng)格，并使用網(wǎng)格間距 （這是網(wǎng)格的寬度 被穿過網(wǎng)格的光線數(shù) 劃分所得），和一個光束重疊因子（OF）來設(shè)置子光束的束腰半徑 ，如方程3和4所示。隨機(jī)光線網(wǎng)格不應(yīng)該被用于相干源，因?yàn)榫W(wǎng)格間距不均衡，將會產(chǎn)生不同的束腰半徑。對于網(wǎng)格寬度和光線數(shù)中的x和y值可單獨(dú)控制。在FRED追跡光線的
點(diǎn)處，子光束的束腰半徑是：
(3)
使用更常見的
束腰半徑慣例增加了一個額外的因素，
(4)
重疊因子是在網(wǎng)格上相鄰子束之間的部分重疊，并具有1.5的默認(rèn)值（很少改變）。因此，要保持 的近軸限制內(nèi)，對于可見光（λ=0.5 μm），網(wǎng)格間距應(yīng)該是
，一個更加合理的范圍為5-10μm。
鎖定FRED特點(diǎn)：相干場重采樣
有某些情況下，當(dāng)使用正確定義的相干光源仍然會導(dǎo)致相干光線的錯誤。在這個例子中，一個Thorlabs 5倍擴(kuò)束器（BE05M）用來演示FRED的相干光場重采樣特征，以及其他一些有用的工具。
通過導(dǎo)入由Thorlabs提供的CAD文件，并且用FRED自帶的透鏡元件及光學(xué)特性來代替光學(xué)CAD部分，我們可以在FRED中模擬擴(kuò)束器。圖2顯示了使用3D剖面圖顯示系統(tǒng)布局。
圖2 一個Thorlabs 5倍擴(kuò)束器的FRED模型。FRED的3D剖面圖用于顯示外殼的內(nèi)部構(gòu)造。
相干光源定義
在FRED中有一些默認(rèn)的光源，包括平行光源，點(diǎn)光源，高斯TEM00模激光束和激光二極管光束。相干的高斯He-Ne激光束用于這個例子。一個高斯光束的輸入?yún)?shù)有光束大�。ㄊ肟讖剑⒕W(wǎng)格大�。ㄔ诓蓸悠矫嫣幍难堪肟讖剑┖驼麄�平面上點(diǎn)的數(shù)目。一個好的經(jīng)驗(yàn)法則是設(shè)定光束大�。ㄊ霃剑榫W(wǎng)格尺寸的一半。在這個例子中，光束被定義為圓形，在2mm*2mm的每個方向有41條光線穿過的網(wǎng)格上（W），束腰半徑是0.5mm（直徑1mm）。這是一個完全有效的相干光源定義。它的子光束有大約41.7μm的束腰半徑，遠(yuǎn)大于6.328μm的10 邊界；同時有0.28°的發(fā)散角（ ），遠(yuǎn)小于6°的近軸限制。
在 點(diǎn)（方程4）處的束腰半徑是：
子光束發(fā)散角為：
高斯光線尺寸點(diǎn)列圖工具
FRED的高斯光線尺寸點(diǎn)列圖工具對于檢驗(yàn)高斯子光束特性、可視化二級光線位置和診斷相干光線的錯誤非常有用。該工具利用對應(yīng)的1/e2橢圓來繪制基準(zhǔn)光線。盡管沒有明確繪制，二級束腰光線沿著該橢圓一般有4個，在 和 方向。FRED在高斯光線尺寸點(diǎn)圖中繪制了一個1/e2束腰光線橢圓，但是在光線追跡中使用了沿著稍小的1/eπ/2橢圓的二級光線。圖3顯示了在兩個位置處激光光源的高斯點(diǎn)圖：(a)在光源處，(b)在下游的650mm處�；鶞�(zhǔn)光線是完全準(zhǔn)直的，但激光光束本身是發(fā)散的，這可以通過注意1/e2橢圓（在這種情況下圓形）已傳播650毫米后尺寸的增加來觀察。
圖3 高斯光線尺寸點(diǎn)列圖，放大的中心用以顯示細(xì)節(jié)。(a)在光源位置。(b)當(dāng)光束傳播了650mm后，輪廓如最右邊的子光束�；鶞�(zhǔn)光線準(zhǔn)直，二次光線發(fā)散。
假設(shè)擴(kuò)束器是光學(xué)系統(tǒng)的一部分，它需要第一表面距離激光源650毫米。一個例子是馬赫澤德干涉儀，在其臂處有不同的光束尺寸，如圖4所示。
圖4 馬赫澤德干涉儀的FRED模型，在一個臂處有擴(kuò)束器。
仔細(xì)觀察圖3b，發(fā)現(xiàn)子光束輪廓直徑大約是6mm。擴(kuò)束器的發(fā)散透鏡只有5mm的直徑。因此推斷二級光線被略去的似乎是合理的，但情況并不是這樣的。復(fù)合光線追跡的基本準(zhǔn)則之一是：如果基準(zhǔn)光線與一個表面相交，然后所有它的二級光線一定與同樣的表面相交。通過在數(shù)學(xué)上延展表面與每個二級光線相交，如圖5所示，F(xiàn)RED強(qiáng)制執(zhí)行該準(zhǔn)則。當(dāng)執(zhí)行光線追跡時，所有的光線通過該表面。
圖5 光學(xué)表面的數(shù)學(xué)延伸算法，用于與不和實(shí)際表面相交的二級光線相交。
有三種類型的相干光線的錯誤（在下面的部分中討論），如果它是不能正確地傳播的光線，在光線追跡后，F(xiàn)RED只顯示了一個警告。就好像如果它無法在數(shù)學(xué)上延伸必要的表面，它就會發(fā)生。在執(zhí)行分析時，另外兩個相干光線錯誤只會產(chǎn)生一次警告。在擴(kuò)束器的情況下，該追跡的光線沒有錯誤或警告，這是由于透鏡的球面很容易擴(kuò)展。但是當(dāng)執(zhí)行分析時，問題升級了，因?yàn)槎壒饩�不再與基準(zhǔn)光線良好相關(guān)，子光束從完美的高斯型變成了過于發(fā)散。
光線狀態(tài)
FRED的光線狀態(tài)工具處理問題非常方便，如該擴(kuò)束器模型，其中有一個問題，但細(xì)節(jié)和原因還不清楚。光線狀態(tài)會輸出目前系統(tǒng)中所有光線的狀態(tài)，如圖6所示。有三種類型的相干光線錯誤：
1.相干二級光線追跡錯誤（Coherent secondary ray raytrace errors:）：這表明，在光線追跡的過程中，發(fā)生了一些事件阻止了所有光線被正確追跡。在光線追跡完成后，描述了特定問題的一個警告呈現(xiàn)在輸出窗口的光線追跡摘要中。舉個例子，如果一個基準(zhǔn)光線穿過了一個球透鏡，但是二級光線與該透鏡沒有相交，延伸光學(xué)表面使得二級光線產(chǎn)生相交是不可能的，然后FRED會輸出如下的消息：“Rays halted because unable to complete coherent secondary ray intersection(warn: 18)”。
2. 相干二級光線不變量違規(guī)(Coherent secondary ray invariant violations)：當(dāng)子光束偏離高斯光束太遠(yuǎn)，這個錯誤就會產(chǎn)生。當(dāng)光線追跡完成時，沒有錯誤或警告，嘗試分析時會產(chǎn)生一次。
3. 相干光線高斯指數(shù)衰減違規(guī)（Coherent ray Gaussian exponential decay violations）：此錯誤非常類似于前一個，但表示該子光束已經(jīng)變得太發(fā)散。直到嘗試分析時，才會報(bào)告一些錯誤或警告。
在擴(kuò)束器的例子中，所有1313條光線違反二級光線不變量和高斯指數(shù)衰減，因此是無效的。如圖6所示，概要顯示了在光線追跡過程中可能產(chǎn)生的錯誤，這在對系統(tǒng)進(jìn)行故障排除時作為切入點(diǎn)是很有用的。
圖6 輸出窗口顯示了光線狀態(tài)概中相干光線錯誤要結(jié)果
相干場重新采樣
相干光場重采樣特征可以用來解決相干光線的錯誤，通過計(jì)算和產(chǎn)生一組新的在擴(kuò)展空間區(qū)域重現(xiàn)當(dāng)前標(biāo)量場相干光線。新光線歸納起來產(chǎn)生相同的場，但新合成的子光束重新定義了束腰和發(fā)散角。這類似于產(chǎn)生具有性能良好的子光束的一個全新的光源。面積、像素大小和重新采樣網(wǎng)格的位置由一個分析表面實(shí)體指定。這些參數(shù)，就像是光源創(chuàng)建網(wǎng)格，決定了子光束的屬性。因此，在定義一個光源時，關(guān)于像素尺寸和間距應(yīng)該有相同的考慮。相干光場重采樣執(zhí)行以下操作：波前計(jì)算，任何球形和傾斜項(xiàng)的去除，光場的重新采樣，球面和傾斜項(xiàng)的合并，在分析表面上每個像素的中心創(chuàng)建一個新的子束來再現(xiàn)原始光場。相干光場重新采樣對話窗口如圖7所示。
在此擴(kuò)束器的例子中，光場的重新采樣就在與原始光源具有相同的光束參數(shù)的第一個（發(fā)散）透鏡的前面，因?yàn)樗呀?jīng)確定該束腰和發(fā)散是合理的。我們創(chuàng)建了比發(fā)散透鏡（半孔徑2mm）的尺寸略小的分析面，調(diào)整分割數(shù)來產(chǎn)生于初始光源（73）相同的束腰。這種調(diào)整是有必要的，因?yàn)槌跏脊庠词嵌x在圓形網(wǎng)格上，而新的光場是定義在方形分析表面上。
使用高級光線追跡功能，追跡從光源到第一個透鏡的光線，該功能可以在光線追跡的過程中實(shí)現(xiàn)精確的控制，包括在特定的平面上停止光線追跡。然后光場可以被重新采樣(Raytrace > Spatially Resample Scalar Field…)，刪除現(xiàn)存的光線，并用新定義的光線替換它們。重新采樣場應(yīng)該與初始場相同，唯一的不同是用于定義它的光線。然后使用Trace Existing Rays或Trace and Render Existing命令，追跡系統(tǒng)剩余部分的光線。
圖7 光場重新采樣功能對話框
除了解決相干光線錯誤，相干光場重采樣也可以在一個表面欠采樣是的情況下使用。例如，如果擴(kuò)束軌跡長度很大，第二透鏡將滿溢和欠采樣，如圖8所示。因?yàn)榍懊嫠枋龅淖钚【W(wǎng)格尺寸的限制，從而增加源光線的數(shù)量不是一個合適的解決方案。相干光場重采樣特性可用于在第二透鏡處重現(xiàn)光場，并合成具有透鏡的足夠空間采樣的新光線網(wǎng)格。
圖8 大倍率遠(yuǎn)焦望遠(yuǎn)鏡致使第二透鏡的欠采樣。
相干標(biāo)量場分析
新光線合成之后，它們可以通過系統(tǒng)被追跡，而沒有相干光線錯誤，所得到的場可以分析。相干光場的能量、相位和波前可以用相干標(biāo)量場分析工具進(jìn)行研究。圖9顯示了具有用紅色框出的可用繪圖選項(xiàng)的標(biāo)量場菜單。它也給出了用于顯示和輸出圖像、縮放數(shù)據(jù)、平滑和修改圖像數(shù)據(jù)、顯示圖像統(tǒng)計(jì)和執(zhí)行一個傅立葉變換的選項(xiàng)。圖10顯示了在擴(kuò)束器輸出處的場能量、相位和波前。
圖9 當(dāng)右鍵點(diǎn)擊圖像時顯示的標(biāo)量場分析菜單，紅框顯示為可用繪圖。
圖10 FRED輸出圖像，顯示a)場能量、b)場相位、c)波前
FRED中部分相干性示例：衍射儀
用FRED可以模擬部分相干光源，通過集相干的點(diǎn)源為一體，每一個都具有不同的空間位置和波長。在FRED部分相干的建模被限制在特殊情況下，這樣的定義才是有效的。
類似上述的一個例子是衍射儀，可用于測量光源的空間相干性的干涉儀。本例是基于由Thompson和Wolf[1]描述的設(shè)置，如圖11所示。一個擴(kuò)展的非相干的光源 ，通過一個透鏡 成像，聚焦到一個小孔 上。由 產(chǎn)生的光經(jīng)過 準(zhǔn)直和 聚焦到平面F上。含有兩個小孔 和 的不透明的屏A位于 和 之間�？讖娇梢允侨我獾某叽绾托螤睿梢苑胖迷谄矫鍭上的任何位置。
圖11 衍射儀
圖11的輪廓斷面可以在FRED中通過在小孔
上不同波長、隨機(jī)位置的點(diǎn)光源的聚集來建模。如果波長在一個小的帶寬內(nèi)，這一光源的聚集滿足一個由Born & Wolfe [2]給出的準(zhǔn)單色光的定義。對于這個例子，使用了在0.579±0.002μm內(nèi)的波長。光源的每個波長分量在平面F上獨(dú)立生成一個干涉圖樣。FRED歸納了相同波長的相干性和不同波長非相干性。因此，在平面F上總輻照圖案是每個波長獨(dú)立相干成分的非相干總和。
因?yàn)橹挥行〔糠止饩�通過了小孔p1和 p2，所以上面描述的光線追跡是非常低效的。一個可以獲得相同結(jié)果的更加高效的方法是在透鏡 前面定義兩個光線的圓形網(wǎng)格。光線網(wǎng)格應(yīng)類似于兩個小孔（在x-y平面上有相同的間隔和位置），但尺寸稍大，以確保光線溢出小孔。兩個圓形光源的光線方向被指定為從孔徑 內(nèi)的隨機(jī)位置始發(fā)。FRED有一個選項(xiàng)用于指定光線的方向，稱為Focus to/from a point，這會產(chǎn)生由用戶定義的聚焦到一個點(diǎn)或從一個點(diǎn)出發(fā)的光線。這兩個光源都在以稍有不同的波長處創(chuàng)建了許多次，每一組網(wǎng)格定義成在 孔徑的隨機(jī)位置出發(fā)。圖12顯示了兩組光源，有延伸回到所述孔徑的光線和一個有限數(shù)量的光線，以幫助展示光源的創(chuàng)建。總結(jié)這一過程，孔徑 中的一個隨機(jī)位置被選擇。兩個光源分別對應(yīng)于小孔 和 （組成光源集），就定義在第一個透鏡前面。對于兩個光源的光線方向，指定為起源于所選擇的隨機(jī)位置。然后選擇另一個位置，創(chuàng)建兩個或更多的對應(yīng)光源。對于許多光源，重復(fù)這一過程。在本例中，使用一個內(nèi)置腳本創(chuàng)建了75組這樣的光源。目標(biāo)是在小帶寬內(nèi)的任意位置和波長處，仿真許多點(diǎn)光源，它們已經(jīng)傳播到剛好在 前面的兩個區(qū)域，這樣它們就覆蓋了小孔 和 。圖13顯示了衍射儀的FRED模型。在第一個透鏡前面創(chuàng)建了光線，但是它們已經(jīng)擴(kuò)展到 便于視覺表現(xiàn)。這一選項(xiàng)叫做Post-Creation Ray Propagation，在像這樣的情況下是有用的，它有助于可視化實(shí)際上不存在的光線。
圖12 創(chuàng)建的兩組光源類似于兩個小孔，光線方向從左側(cè)的孔徑的隨機(jī)位置過來。不顯示透鏡是因?yàn)楸阌谛】椎娘@示。
圖13 衍射儀FRED模型。通過變形三維視圖（Anamorphic 3D View. Anamorphic 3D View.），系統(tǒng)已縮小Z方向以提供整個系統(tǒng)的視圖。
根據(jù)van Cittert-Zernike理論，1934年經(jīng)P.H. van Cittert獨(dú)立發(fā)展，后來到1938年又由F. Zernike發(fā)展，在
處的光源聚集提高了屏A上任意兩點(diǎn)p1和p2處場的相關(guān)性。van Cittert-Zernike理論建立了部分相干的復(fù)雜度如：
(4)
其中
(5,6)
J1是一階第一類貝塞爾函數(shù)， p是小孔
的半徑，d是p1和p2之間中心-中心距離，R是 的焦距長度，r1和r2是p1和p2偏離光軸的距離，
是平均波長。
的振幅被稱為空間相干度
。
我們調(diào)查了小孔間距d對空間相干度
的影響。在仿真中使用了以下的值： p=0.045mm，R=1505.6 mm， r1=r2=0（在軸上），
=0.579μm。
對d的依賴性是振蕩的，這是由于如圖14所示的貝塞爾函數(shù)。對于四個小孔間距（在圖14中通過點(diǎn)標(biāo)記），通過FRED建模，它們在平面F上的干涉圖樣顯示在圖15中。FRED的仿真結(jié)果與Thompson and Wolf的結(jié)果吻合良好。
當(dāng)兩個小孔處的強(qiáng)度相等并且時間相干性可以忽略時，這里就是這種情況，條紋可見度等于部分相干度。條紋可見度定義為：
(7)
其中Imax和Imin是條紋輻照度的最大和最小值。將FRED模型與部分相干度的理論值比較，使用中心條紋的最大和最小輻照度值，估計(jì)四個小孔間距每一個的條紋可見度。在圖14中紅色的X對應(yīng)于估計(jì)的條紋可見度，這是基于圖15所示的干涉圖樣。正如圖14和15所示，基于FRED模型的近似值合理的靠近理論值。
圖14 衍射儀的部分相干度vs小孔間距。點(diǎn)代表在FRED模型使用的設(shè)置處的理論 值。紅色X對應(yīng)于條紋可見度（等于 ），這是基于FRED圖（如圖15）計(jì)算得出。
圖15 四個不同小孔間距d在平面F上的條紋可見度，以及對應(yīng)的部分相干度 和估計(jì)的條紋可見度V。
參考文獻(xiàn)
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3. Hecht, Eugene. Optics (4th Ed), Addison Wesley, Ch 12.3, p. 571
