Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統的不同平面上，電磁場分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學建模中的頻繁操作。我們介紹一個場所謂的幾何區域，在該區域中傅里葉變換可以在不進行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數值方式得到。在幾何場域中，場由波前相位控制，因此允許我們將穩定相位的概念應用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項技術被證明是快速物理光學的基礎支柱。
1.光學傅立葉變換
在物理光學中，我們處理電磁場的六個復數場分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中  ，傅立葉變換到k域定義為
 （2）
其中，我們使用符號
 (3)
方程2中積分的數值評估需要對a和k域中的場進行取樣，我們用N表示采樣點的數量，所得的離散傅里葉變換構成了N 2運算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學建模成為可能，但FFT需要  的采樣。在光學中，我們通常有強梯度的相位函數，從而導致很大的N值，只有在十分對稱的光學系統中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學上遇到N太大而不能進行快速計算傅里葉變換的問題，這是快速物理光學概念的嚴重阻礙。
為了進一步研究，我們用波前相位Ψ將  分解（跳過ω）為
 (4)
對于所有分量都是一樣的。 顯然，方程 4中的分解是模糊的，其依賴于從源場出發建模中恰當的相位處理方式。由定義  得分解結果
 (5)
類似地，我們可以得到
 (6)
其中波前相位  在k域上。應該提到的是，根據方程 5與 在幾何光學上是已知的，然后  ，S為光程函數。我們想強調的是，方程 5的分解在物理光學中是更一般和純粹的數學方法，我們的目標可以表述如下：我們對不通過采樣波前相位因素來進行傅里葉變換的技術十分感興趣，此時Ψ和 是可通過半解析傅里葉變換實現的二次多項式的形式[1]。這里我們想討論一個概念，適用于一般的波前相位，但在強波前相位近似，它使用穩定相位的概念。
2 幾何傅里葉變換理論
穩定相方法的應用在光學中是眾所周知的，例如，用于討論[2]中的衍射積分。我們將其用于快速計算方程2的傅里葉變換積分。為此，我們假設除臨界點附近以外  在通過z的平面內具有比U（ρ，z）高得多的空間頻率。 根據穩定相位的概念，直接導致基本方程（跳過z )
 (7)
其中  方程7表示k和p之間的映射，我們假設這個映射是開放、雙射和連續的，這意味著它構成了一個同胚，這是波前相位 平滑的數學表達式，并確保k域中的結果場可以在非等距網格上插值。在光學中，當場不在苛性區時，通常滿足這種條件，穩定相位的概念也揭示出來
 (8)
由φ(p)的勒讓變換
 (9)
復函數
 (10)
權重因子  取決于φ(p)的二階導數，該結果通過將空間域中的場值映射到具有附加權重因子的k域來表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執行場分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經開發了一個數值算法來執行幾何傅里葉變換。它利用場的混合采樣。相比于函數  ，波前相位φ(p)本身可以通過少量N(φ)的非等距分布值而參數化。樣條插值的節點是可能的候選項。
而且，我們必須用等距分布的采樣點N(U)來處理函數U(p)的采樣。一般來說，我們有  ，幾何傅里葉變換的數值主要基于 中的線性運算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當幾何傅立葉變換足夠精確時，由此產生的數值算法能夠實現非常快速的傅里葉變換，對于強波前相位來說就是這種情況。
對于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數值上對于非常弱的波前相位有效的常規FFT，我們獲得了一個強大的三元組來處理所有相關傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術更新中得以實現，構成了其快速物理光學技術的基礎[3]，例如古伊相移就是用這個概念來研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠場區域
我們來考慮平面z中的一個場，它可以通過幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質量標準來指定）進行變換。那么我們說該平面位于幾何區域（GFZ），否則場在其衍射區（DFZ） 。自然地，衍射場區域位于焦點區域附近，而GFZ出現在距焦點區域較遠處。如果場進一步傳播，則可達到形成幾何區域子集的遠場區。在幾何區域中，我們不限制波前相位 ，這意味著我們也包括像差。如果幾何傅立葉變換為球面的 提供準確的結果，則已經達到遠場區域，如表1中概括。對于一個衍射受限場，幾何場和遠場區是相同的，應該強調的是，在每個平面上，場的區域特征可以通過幾何傅里葉變換來研究，這構成了一個純粹的數學概念。事實證明，在場的幾何區域中的物理光學建模可以很快地執行，因為數值上其主要涉及相對較小的波前相位樣本數量 。
表1 場域的定義
參考文獻
[1] Z. Wang, S. Zhang, and F. Wyrowski, "The semi-analytical Fast Fouruer Transform," in Proc. DGaO, vol. 118, p. P2 (2017).
[2] J. J. Stamnes, Waves in focal regions. Propagation, diffraction and focusing of light, sound and water waves (Adam Hilger, Bristol and Boston, 1986).
[3] Fast physical optics software "Wyrowski VirtualLab Fusion", developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.
[4] O. Baladron-Zorita and F. Wyrowski, "The Role of the Gouy Phase Anomaly in the Unification of the Geometric and Physical Models for the Propagation of Focussed Fields, " in Proc. DGaO, vol. 118, p. P3 (2017).
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