我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。
1.簡(jiǎn)介
物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場(chǎng)分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場(chǎng)分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場(chǎng)的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號(hào)開始，在本文中我們使用符號(hào)  對(duì)應(yīng)6個(gè)場(chǎng)分量，也就是V = (E, H)：
 (1)
在公式1中，我們假設(shè)場(chǎng)  有兩部分：衍射場(chǎng)  和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對(duì)于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場(chǎng)  。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：
 (2)
顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場(chǎng) 比余項(xiàng)場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過FFT且無(wú)二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
 (3)
通常來說，項(xiàng)  必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知：
 (4)
適用于任何復(fù)  ，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來：
 (5)
其中：
 (6)
其中常數(shù)項(xiàng)  。
將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)  可以表示為：
 (7)
其中：
 (8)
這里，  和坐標(biāo)項(xiàng)  。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場(chǎng)的FFT可被兩個(gè)余項(xiàng)場(chǎng)的FFT替代。
3.數(shù)值仿真
這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計(jì)軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現(xiàn)。
3.1.有效性測(cè)試1：純二次相位
在第一組測(cè)試中，我們準(zhǔn)備了余項(xiàng)場(chǎng) ，其幅度信息如圖1所示，且相位為零。我們將不同的二次相位項(xiàng)exp(iψq(ρ))與之相乘，組成 。然后我們分別對(duì)全場(chǎng) 應(yīng)用FFT和半解析FFT。
圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點(diǎn)�？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)場(chǎng)有強(qiáng)二次相位時(shí)，半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點(diǎn)。
在圖3中我們給出了三個(gè)典型位置的角頻譜的振幅。解釋了波陣面相位的物理意義，因此當(dāng)波陣面相位非常小時(shí)，在FT中衍射效應(yīng)占主導(dǎo)地位。否則，當(dāng)波陣面相位增加時(shí)，F(xiàn)T展現(xiàn)了越來越多的幾何特征。
3.2 有效性測(cè)試2：球形相位
在第二組中，我們將乘上另一種相位：球形相位  。
不像測(cè)試1，我們只能用解析方法處理二次部分而不能處理整個(gè)球形相位。所以，余項(xiàng)場(chǎng)的相位不再是零而是球形和二次相位之間的差值，并且它會(huì)隨著球半徑r的減小而越來越大。
不同情況下FFT和半解析FFT的抽樣點(diǎn)于圖4給出。結(jié)果顯示在強(qiáng)球形相位情況下，由于相位差， 需要更多的抽樣點(diǎn)，這導(dǎo)致了半解析FT的抽樣數(shù)量同樣增加了。
4.結(jié)論
我們論證了半解析FFT的推導(dǎo)并且展示了幾個(gè)數(shù)值例子。事實(shí)表明，半解析FFT的采樣僅取決于余項(xiàng)場(chǎng)。在波陣面相位較強(qiáng)的場(chǎng)中，半解析FFT需要的采樣點(diǎn)明顯較少。
參考文獻(xiàn)
[1] E. O. Brigham, “The fast Fourier transform and its applications.” (1988).
[2] L. Mandel and E. Wolf, Optical coherence and quantum optics (Cambridge university press, 1995).
[3] “Wyrowski VirtualLab Fusion, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH,”.
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