在物理光學(xué)中，我們使用麥克斯韋方程組處理電磁場。為了快速求解該方程組，我們將不同的麥克斯韋算子結(jié)合在一個(gè)非序列場追跡概念中。進(jìn)一步的，快速物理光學(xué)概念的支柱是：（1）盡可能在k域求解麥克斯韋方程組。（2）根據(jù)處于哪一個(gè)場域，使用常規(guī)或幾何傅里葉變換，選擇k域或空間域。（3）通過所謂的雙向算子仿真光學(xué)組件的效應(yīng)。（4）幾何雙向算子的引入。這些概念的結(jié)合產(chǎn)生了一種物理光學(xué)理論，其具有快速建模算法，該算法固有地以定義明確、有說服力的方式應(yīng)用了幾何和衍射模型。
一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的麥克斯韋方程組的解可以通過非序列場追跡算法得到[1]。這導(dǎo)致所有通過系統(tǒng)中不同光路的模擬，都由一系列自由空間傳播步驟和與空間中非均勻區(qū)域，例如光學(xué)器件的互作用組成。從光源平面中的場開始，自由空間算子P規(guī)定了在下一個(gè)組件平面上的場，其中組件的響應(yīng)由算子B給出。這些算子應(yīng)用于x域或k域。一個(gè)光路的模型可以由所謂的場追跡圖說明，圖1給出了相應(yīng)的例子。
通過選擇常規(guī)或幾何傅里葉變換[3]，可以來回轉(zhuǎn)換k域和空間域，不同的衍射積分遵循空間域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、遠(yuǎn)場和Debye積分。k域中自由空間傳播的簡單性是快速物理光學(xué)選擇k域的一個(gè)重要原因。另一個(gè)原因是可以從 快速代數(shù)計(jì)算 和 。下面將介紹場追跡算法中的B算子。
空間域中我們有B算子
，并且類似的在k域中有
。兩個(gè)域中的算子都有矩陣形式，例如k域?yàn)?/div>
(2)
這個(gè)矩陣中每一個(gè)算子都代表一個(gè)積分運(yùn)算符，例如k域中有如下積分形式（忽略ω）
(3)
其中K²代表輸入組件的一系列k值， V為場分量的位置標(biāo)識(shí)符， B表示公式2中一個(gè)矩陣元素的積分核函數(shù)。因?yàn)?kx,ky)代表k域中傳輸?shù)钠矫娌ǖ姆较�，在K²的子集中核函數(shù)
也可以被理解成方向角度的函數(shù)，說明了B是電磁場的雙向散射分配函數(shù)（BSDF）的概括，盡管BSDF僅僅闡述了場能量效應(yīng)。
圖2 上圖展示了正弦表面光柵中的場，通過有限元方法（FEM）計(jì)算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法計(jì)算。在下圖中展示了兩種方法的結(jié)果，平面中結(jié)果場的振幅標(biāo)為紅色。由Rui Shi提供。
這必然被包含在了公式3中。因?yàn)锽SDF的關(guān)系，我們選擇 作為雙向算子或者簡化B算子。總的來說，計(jì)算B(k,k')和它在公式3中積分計(jì)算的應(yīng)用需要大量的數(shù)值計(jì)算而且很慢。但是，在分層介質(zhì)情況下，我們可以得到簡化的形式
，減少了乘積的積分，并且能夠快速計(jì)算k域中的算子[4]。如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應(yīng)，空間域中算子B則變成簡單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過選擇合適的傅里葉變化來模擬這個(gè)效應(yīng)，這在圖1中通過第一個(gè)B算子解釋了。當(dāng)然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場傳播通過兩種介質(zhì)間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對(duì)場的影響可以通過有限元法（FEM）來計(jì)算，但是對(duì)于大多數(shù)情況來說，數(shù)值計(jì)算成本太高。如果表面的結(jié)構(gòu)不是很小，在大多數(shù)實(shí)際情況中通過所謂的局部平面近似（LPIA）方法計(jì)算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場的邊界條件利用分層介質(zhì)的已知解進(jìn)行局部計(jì)算。圖2比較了正弦表面光柵時(shí)FMM和LPIA的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果顯示LPIA對(duì)該效應(yīng)預(yù)測(cè)的很好，即使是表面上非常小的特征。事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)LPIA是計(jì)算公式3中B(k,k')包括矢量效應(yīng)（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡化特例。盡管LPIA可以計(jì)算雙向算子，我們?nèi)匀恍枰M(jìn)行公式3中大量的數(shù)值積分計(jì)算。這導(dǎo)致了LPIA和幾何傅里葉變換的結(jié)合[3]。如果我們假設(shè)輸入場
和輸出場
在它們的幾何場域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡化為簡單的乘積，其中包括了坐標(biāo)變換k(k')。根據(jù)幾何傅里葉變換理論，這個(gè)變換由輸入場的波陣面相位計(jì)算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)于VirtualLab Fusion中實(shí)現(xiàn)。如果場處于其幾何或衍射區(qū)域，則可以在任何平面進(jìn)行數(shù)值測(cè)試。根據(jù)結(jié)果，應(yīng)用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應(yīng)用了B算子。這造成了基于純數(shù)學(xué)論證的衍射和幾何模型自然而然地應(yīng)用。建模始終完全基于物理光學(xué)并在數(shù)值效率方面進(jìn)行了優(yōu)化。
參考文獻(xiàn)
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C. Hellmann, in vol. 66 of Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, pp. 257 (Springer Berlin Heidelberg, 2013)
[2] S. Zhang, D. Asoubar, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 55(3), 529 (2016).
[3] F. Wyrowski and C. Hellmann, Proc. DGao, vol. 118, A37 (2017).
[4] S. Zhang, C. Hellmann, and F. Wyrowski, Appl. Opt. 56(15), 4566 (2017).
[5] A. Pfeil, F. Wyrowski, A. Drauschke, and H. Aagedal, Appl. Opt. 39(19), 3304(2000).
[6] Fast physical optics software “Wyrowski VirtualLab Fusion”, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH, Jena, Germany.
）
