圖7.左圖，入射平面波（5mm直徑）的振幅。右圖，波長在400nm（n=1.4705）到600nm（n=1.4584）范圍之間變化時Fused Silica的折射率。
表1.場追跡方法與FMM所計算的透射率對比。
結(jié)果如表1所示。正如期望一樣，在所有的值之間可以看到一個非常好的吻合。
6. 結(jié)論
我們展示了可用于光學(xué)仿真問題高效解答的光場追跡技術(shù)。由此生成的算法能夠結(jié)合那些包含嚴(yán)格和近似方法的局部麥克斯韋求解器。在光學(xué)中，局部問題通常表現(xiàn)良好且局部求解器可以適應(yīng)于局部特征以加快計算速度。進(jìn)一步的實驗檢測并將這些局部特征進(jìn)行分類。這些信息可以用于設(shè)計合適的局部求解器。此文章中所呈現(xiàn)的解算法可以很容易的并行運行。特別是一個樹級次的所有局部求解器可以在一個分布計算環(huán)境下進(jìn)行并行運行。然后，實現(xiàn)交流僅需要完成與子域邊界相關(guān)的場數(shù)據(jù)的交換。盡管是為了將諧波場傳播通過光學(xué)系統(tǒng)我們將場追跡公式化，但它也可以被用于一般場，如靜態(tài)和脈沖光[9,11]。為此，一般場可以分解為一系列諧波場模式這些模式可以被追跡通過系統(tǒng)并使用合適的探測器進(jìn)行評估。
致謝：此處為Ulrich Langer學(xué)生，M.Kuhn博士的個人致謝。我總是樂于成為Ulrich Langer的學(xué)生和同事。我想要感謝他非凡的教育。Ulrich在表述科學(xué)問題方面具有卓越的能力，具有很強的實踐意義。他鼓勵我在麥克斯韋問題這個領(lǐng)域工作。最終，這引領(lǐng)我成為極具創(chuàng)新的光學(xué)仿真工具VirtualLab[6]軟件優(yōu)秀開發(fā)團(tuán)隊的一員。我希望將此文章獻(xiàn)給Ulrich。最后，他的前提“給需要解決的問題設(shè)置一個數(shù)學(xué)公式！”是這篇文章中所給出的結(jié)果的起點。最后但同樣重要的是，沒有我的合作作者以及LightTrans的同事，這篇文章是不可能完成的。
參考目錄
[1] Brigham, E.O.: The fast Fourier transform. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1974)
[2] Goodmann, J.W.: Introduction to Fourier optics. McGraw-Hill, New York (1968)
[3] Langer, U., Steinbach, O.: Coupled boundary and finite element tearing and interconnecting methods. In Kornhuber, R., Hoppe, R., Periaux, J., Pironneau, O., Widlund, O.B., Xu, J. (eds.) Domain decomposition methods in science and engineering XV. Lecture Notes in Computational Sciences and Engineering, vol. 40, Springer, Heidelberg, pp. 83–97 (2003)
[4] Langer, U., Steinbach, O.: Coupled finite and boundary element domain decomposition methods. In Schanz, M., Steinbach, O. (eds.) Boundary Element Analysis. Mathematical Aspects and Applications. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, vol. 29, Springer, Berlin, pp. 61–95 (2007)
[5] Mandel, L., Wolf, E.: Optical coherence and quantum optics. Cambridge University Press, Cambridge (1995)
[6] LightTrans GmbH: VirtualLabTM - your optical modeling laboratory (2000– 2012, http://www.lighttrans.com)
[7] Meyer, C.D.: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM (2001)
[8] Monk, P.: Finite Element Methods for Maxwells Equations. Clarendon Press, Oxford (2003)
[9] Tervo, J., Turunen, J., Wyrowski, F.: The Light Cube. In: 5th EOS Topical Meeting on Advanced Imaging Techniques, 3037. European Optical Society (2010)
[10] Turunen, J.: Diffraction theory of microrelief gratings. In Herzig, H.P. (ed.) Micro-optics elements, systems and applications. Taylor & Francis, London, pp. 31–52 (1997)
[11] Wyrowski, F., Hellmann, C., Krieg, R., Schweitzer, H.: Modeling the propagation of ultrashort pulses through optical systems. In Neev, A., Nolte, J., Trebina,R.P.(eds.)Proc.SPIE,vol.7589,Heisterkamp,SanFrancisco(2010)
[12] Wyrowski, F., Kuhn, M.: Introduction to field tracing. J. Modern Optics 58(56 ):449–466 (2011)
來定義作用于子域Ωj的輸入光場，使用
來定義對應(yīng)的輸出光場。通過算符
散射問題的解定義了輸入場到輸出場的映射
，將輸出場子域ⅈ映射到輸入場子域j，其中ⅈ≠j：
經(jīng)過邊界Γj（左邊）的兩個平面部分之間的一個子域和場追跡在兩個子域（右邊）的平面邊界部分間的傳播
會作用于子域j的輸出場，并因此和包含所有其他子域貢獻(xiàn)的和相加。根據(jù)（10）我們推導(dǎo)出一系列J 方程以用于計算未知的
。然后，通過定義初始條件
，我們已經(jīng)定義了一個迭代過程。在每一步迭代中，我們必須求解多組局部麥克斯韋問題：一種是對每個子域Ωj（應(yīng)用算子C）；一種是對任意子域Ωi和Ωj（應(yīng)用算子P）之間的每個自由空間區(qū)域。如果(18)成立，則結(jié)果將會收斂。我們將在第5部分給出了使用終止判據(jù)（25）獲得的收斂結(jié)果。
或者
僅對一個指數(shù)j成立。因此，樹僅有一個根節(jié)點。
-對于在Γj上給定的試驗光線，計算試驗光線上域Ωj的效應(yīng)。（ii） 
-對于在Γ_i上給定的試驗光線，計算在Γi和Γj之間的自由空間的效應(yīng)。
和一系列節(jié)點
用于描述任意散射體間的自由空間傳輸，算子
的推導(dǎo)，我們使用如下的事實，即每個平面波的傳輸通過乘以相位項 
[2,5]進(jìn)行描述。方向分量kz表示如下
來表示入射光的復(fù)振幅，這個波可以使用如下形式來表示
的反射光可以寫為如下形式
的透射光的表達(dá)式如下
的連續(xù)條件，從而獲得的決定反射和透射平面波自由參數(shù)的方程。在(x,z)=(0，0)處使用連續(xù)條件，推導(dǎo)出 
θi，θr和θt之間的三個方程，從中我們可以直接獲得反射定律
