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了迭代數(shù)k。由于實(shí)際原因，我們?yōu)槊總�(gè)平板都引入了一個(gè)正面和背面。對(duì)如3中所描述的系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)的光路樹(shù)如圖4中所示。樹(shù)的節(jié)點(diǎn)與任意矢量的一個(gè)輸入（被加項(xiàng)）或者與在Γj處的解相聯(lián)系。節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系與算子或者有關(guān)。不失一般性，我們假設(shè)僅對(duì)一個(gè)指數(shù)j成立。因此，樹(shù)僅有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)。
 

忽略虛線鏈接，光路樹(shù)對(duì)于計(jì)算截?cái)嗫偤褪亲詈线m的（20），因?yàn)槠鋬H僅包含了那些必須的算符而相同的算符（求解相同的麥克斯韋問(wèn)題兩次）不會(huì)出現(xiàn)。
 

最后我們將討論一個(gè)用于生自動(dòng)生成光路樹(shù)的算法。特別是我們想基于光線追跡近似使用試驗(yàn)光線來(lái)檢測(cè)稀疏性。首先，我們引入一個(gè)數(shù)據(jù)集以來(lái)描述試驗(yàn)光線：

 

現(xiàn)在，對(duì)于試驗(yàn)光線，我們定義兩類算子：（i） -對(duì)于在Γj上給定的試驗(yàn)光線，計(jì)算試驗(yàn)光線上域Ωj的效應(yīng)。（ii） -對(duì)于在Γ_i上給定的試驗(yàn)光線，計(jì)算在Γi和Γj之間的自由空間的效應(yīng)。

 

4.場(chǎng)追跡方法
 

在前面的部分我們已經(jīng)描述了用于求解光學(xué)仿真任務(wù)的基于分解和互聯(lián)技術(shù)的算法。已經(jīng)表明，此算法需要兩類算子。算子用于描述任意散射體間的自由空間傳輸，算子描述光學(xué)元件的散射效應(yīng)。對(duì)于這些算子，仍然需要定義顯式的公式。那么問(wèn)題來(lái)了，和 是否必須是嚴(yán)格的麥克斯韋方程求解器。如果是，此方法將會(huì)被限制在那些已知的物理光學(xué)上，包括最主流的如有限和邊界元法，有限差分和有限積分技術(shù)。然而，經(jīng)典光學(xué)建模和設(shè)計(jì)到現(xiàn)在已經(jīng)使用時(shí)數(shù)十年了，從中我的知道，幾何光學(xué)方法和其他的近似方法是及其強(qiáng)大的技術(shù)，能夠描述自由空間傳輸和各種重要的光學(xué)元件對(duì)諧波場(chǎng)的效應(yīng)。由于光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可以看做在特定條件下求解局部麥克斯韋問(wèn)題，因此那些近似通常是有效的。對(duì)于此約束，一個(gè)經(jīng)典的例子是在經(jīng)典激光系統(tǒng)中發(fā)生的局部傍軸場(chǎng)。因此，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)非常鼓勵(lì)我們使用不同的嚴(yán)格和近似局部麥克斯韋求解器以求解算子 和 。用于一個(gè)系統(tǒng)子域的任何合適的建模技術(shù)都必須對(duì)電磁諧波場(chǎng)公式化。在此必須強(qiáng)調(diào)是，在過(guò)去這種方法并未在光學(xué)建模中成為標(biāo)準(zhǔn)。因此系統(tǒng)建模不是基于一種建模技術(shù)，而是多種建模技術(shù)的平滑結(jié)合，同時(shí)每個(gè)子域足夠精確。這就是我們所說(shuō)的統(tǒng)一化光學(xué)建模。在此方法中，根據(jù)之前給出的方程，諧波場(chǎng)以不同的算子和的形式被追跡通過(guò)系統(tǒng)。我們把這種方法稱為場(chǎng)追跡，它是對(duì)光線追跡的自然推廣，其中光線追跡是通過(guò)幾何光學(xué)，追跡通過(guò)一個(gè)系統(tǒng)所有子域的光線束�？傊�，分解和互聯(lián)算法，結(jié)合在不同的子域中針對(duì)和進(jìn)行的諧波場(chǎng)技術(shù)的適當(dāng)選擇，實(shí)現(xiàn)了場(chǎng)追跡法統(tǒng)一化光學(xué)建模。在光學(xué)系統(tǒng)的建模中，生成的非序列場(chǎng)追跡概念是對(duì)非序列光線追跡本質(zhì)的推廣。

 

對(duì)于算子 和 ，已經(jīng)在[12]中提出了一些可能的選擇。其中，推導(dǎo)了幾個(gè)自由空間算子并討論了他們的近似特性。算子的一個(gè)嚴(yán)格版本可以從z=0處一個(gè)諧波場(chǎng)的平面波分解直接推導(dǎo)而來(lái)。這個(gè)分解過(guò)程可以描述為，將諧波場(chǎng)的任意分量傅里葉變換至k空間[1]：


 

其中k=(kx,ky )，ρ=(x,y)且l=1,…,6。其逆變換如下：

對(duì)于平面波算子的推導(dǎo)，我們使用如下的事實(shí)，即每個(gè)平面波的傳輸通過(guò)乘以相位項(xiàng) [2,5]進(jìn)行描述。方向分量kz表示如下

 

算子定義如下

 

平面波角譜(SPW)算子沒(méi)有引入物理近似。讓我們來(lái)討論其數(shù)值特性。光場(chǎng)分量的帶寬在傳輸過(guò)程中是一個(gè)不變量。這可以從嚴(yán)格SPW算子（29）中推導(dǎo)出來(lái)。頻譜乘以相位因子exp⁡[ⅈkz]。這一步并不改變頻譜的范圍，也就是光場(chǎng)的帶寬。基于采樣原理[1]，一個(gè)不變的帶寬可以直接得出結(jié)論，即場(chǎng)的（最大）采樣周期在傳輸中也是一個(gè)不變量。為了將（31）應(yīng)用到一個(gè)采樣場(chǎng)，需要兩個(gè)離散傅里葉變換。對(duì)于采樣點(diǎn)數(shù)N ，其數(shù)值計(jì)算量是接近最優(yōu)的（O（NlogN））。采樣點(diǎn)數(shù)是基于采樣周期（傳輸過(guò)程中不變）以及輸入和輸出之間最大的場(chǎng)尺寸來(lái)定義的。因此，如果傳輸過(guò)程中場(chǎng)尺寸不明顯變化的話，SPW算子會(huì)有一個(gè)接近最優(yōu)的數(shù)值計(jì)算量。這種情況適用于小角度的傍軸場(chǎng)。然而，對(duì)于非傍軸場(chǎng)，用來(lái)評(píng)估結(jié)果的數(shù)值計(jì)算量變得不現(xiàn)實(shí)。在這種情況下，場(chǎng)尺寸在傳輸后可能比z=0處的場(chǎng)大的多。這就是為什么在可能的情況下必須使用相應(yīng)的近似算子，，如適合于傍軸情況的菲涅爾算子或者適合于遠(yuǎn)場(chǎng)情況遠(yuǎn)場(chǎng)算子。在[12]中，已經(jīng)顯示了如何設(shè)計(jì)一個(gè)選擇合適算子的自動(dòng)程序以產(chǎn)生一個(gè)自動(dòng)選擇的自由空間傳播算子。也可以使用快速邊界元方法來(lái)替代。
 

對(duì)于分量傳輸算子，幾何光學(xué)方法被廣泛的使用。關(guān)于他們的討論，也可在[12]中發(fā)現(xiàn)。有限元微分法也可用于。為了理解有限元微分法，[8]中討論了散射問(wèn)題的公式化。讓我們來(lái)簡(jiǎn)短的討論一下效率問(wèn)題。在場(chǎng)追跡的框架中，對(duì)一個(gè)子域生成的有限元系統(tǒng)，整個(gè)迭代過(guò)程保持不變。迭代進(jìn)入邊界條件，即，僅在方程的右邊。在場(chǎng)追跡中迭代過(guò)程僅處理一次，而對(duì)于不同的右邊部分，同樣的系統(tǒng)需要進(jìn)行多次求解。即，由于計(jì)算起來(lái)困難的矩陣分解可以被重復(fù)使用，因此使用直接求解器以求解有限元系統(tǒng)這種做法會(huì)非常高效。
 

讓我們?cè)谶@里討論一個(gè)關(guān)于算子的特殊情況，即算子用于一個(gè)平面界面元件。我們考慮一個(gè)平面邊界介于兩種真實(shí)折射率為n_i和n_t的均勻介質(zhì)間，它位于在z=0處。我們假設(shè)邊界垂直于z軸。平面波在xz平面內(nèi)傳輸，并假設(shè)以角度θ_i，從折射率為n_i的材料中入射。由于邊界是無(wú)窮的，在xz平面內(nèi)傳輸?shù)膯我环瓷浜蛦我煌干涫峭ㄟ^(guò)相互作用產(chǎn)生的。波沿由角度θi和θt定義的方向傳播。

 

在準(zhǔn)二維幾何中，麥克斯韋方程組被分成可分別求解的兩組。一組中僅包含y方向的電場(chǎng)（以及x方向和z方向的磁場(chǎng)），這一組討論的是TE偏振。另外一組僅包含了y方向的磁場(chǎng)以及x和z方向的電場(chǎng)，然后這一組討論的是TM偏振。兩種偏振情況都能給出邊界條件的一個(gè)直接評(píng)估�？傊�，例如，TE偏振以及通過(guò)來(lái)表示入射光的復(fù)振幅，這個(gè)波可以使用如下形式來(lái)表示